8   Simulace nelineárního dynamického systému

rotátor jako jednoduchý nelineární systém
atributy objektu rotátoru
metody objektu rotátoru
oblasti přitažlivosti ve fázovém portrétu
separatrix
tlumený rotátor jako disipativní systém
fázový objem

8.1    Objekt dynamického systému
8.2    Konstrukce fázového portrétu
8.3    Oblasti přitažlivosti a fázový objem

Při demonstraci chaotického chování dynamického systému se obvykle používá tzv. rotátor, což je rovinné kyvadlo s hmotností m v homogenním gravitačním poli g s nehmotným, avšak tuhým závěsem délky l. Pohyb kyvadla pak není omezen na malé kmity, ale může vykonávat i kruhový pohyb s proměnnou úhlovou rychlostí w. Rotátor pak může vykazovat chaotické chování v případě působení vnější vynucující síly.

Stav volného rotátoru je plně určen dvěmi veličinami: úhlovou výchylkou f a úhlovou rychlostí w, přičemž platí (viz př.2.1):

(8.1)

Kanonický tvar dynamického systému je pak

(8.2)

Pro simulaci dynamického systému je vhodné použít objektový přístup (např. v jazyce C++), komentované zdrojové texty programů, jejichž výstupy jsou použity v tomto textu, jsou shrnuty v kap. 10.

8.1     Objekt dynamického systému

Objektu rotátor můžeme přiřadit následující atributy (zásadně používáme datový typ double pro zvýšení přesnosti, což při použití dnešních procesorů prakticky nemá vliv na rychlost výpočtu):

Parametry systému

• m - hmotnost
• l - délka závěsu

Stavové proměnné

• fi - úhlová výchylka
• omega - úhlová rychlost

Další závislé stavové veličiny

• Ek, Ep, E okamžité energie rotátoru (kinetická, potenciální, celková)

Metody objektu mohou být následující:

• rotator(fi,omega,m,l) konstruktor, kterým vytvoříme instanci objektu
• step() metoda, která zjistí nový stav systému
• show() metoda, která zobrazí nový stav systému (a smaže původní)

Obr 8.1 Z obrázku je patrné, že metoda show() zobrazuje skutečný pohyb sytému v reálném prostoru. Pohyb kyvadla je animován věrně, avšak pro představu o chování systému je tento typ zobrazení víceméně neužitečný.

Přidejme nyní metodu, která zobrazí průběh potenciální, kinetické a celkové energie showE(). Průběh energií je na obr.8.2 pro nenulovou střední úhlovou rychlost rotátoru. Vidíme, že pro úhel f+2kp=0 je celková energie rovna kinetické energii, která je zde maximální.

Obr.8.2 Průběh energií volného rotátoru

8.2     Konstrukce fázového portrétu

Pro zobrazení fázového portrétu vytvoříme dvě jednoduché metody showPh(), která zobrazí nový bod ve fázovém prostoru po každém kroku systému a metodu Portrait(fi0,omega0,difFi,difOmega,n), která vykreslí sérii trajektorií ve fázovém prostoru. Fázový portrét vykreslený uvedenou metodou je na obr.8.3. Vidíme, že nelinearita systému způsobila několik druhů kritických bodů na ose w=0. Pro f=2kp se vyskytují sedlové kritické body, pro f=(2k+1)p dostáváme centrální kritické body. Trajektorie procházející sedlovými body rozdělují fázový prostor na několik oblastí s kvalitativně odlišným chováním: uzavřenými orbitami a neuzavřenými trajektoriemi, které odpovídají otáčení rotátoru s nenulovou střední úhlovou rychlostí. Již bylo řečeno, že takové trajektorie se nazývají separatrix a mají velký význam pro zkoumání fázového portrétu nelineárních dynamických systémů.

Obr.8.3 Fázový portrét volného rotátoru. Nestabilní sedlové body odpovídají situaci, kdy rotátor má maximální potenciální energii a nachází se v klidu. Naopak stabilní centrální body odpovídají klidu s minimální potenciální energií. Pro malé výchylky od této stabilní polohy jsou trajektorie kruhové, což odpovídá linearizovanému systému (lineární oscilátor).

8.3     Oblasti přitažlivosti a fázový objem

Pohybovou rovnici pro tlumený rotátor lze psát ve tvaru:

(8.3)

kde k je koeficient tlumící síly. Odpovídající soustava dynamického systému je pak:

(8.4)

Obr.8.4 Průběh energií tlumeného rotátoru zobrazený metodou showE(). Celková energie se nezachovává.

Odpovídající fázový portrét systému zobrazený pomocí metody Portrait(...) je na obr.8.5. Centrální body netlumeného systému se změnily na stabilní ohniska, která jsou limitními body téměř všech trajektorií. Zanikly tedy jak uzavřené orbity, tak otevřené trajektorie a fázový portrét není kvalitativně ekvivalentní s netlumeným systémem. Zvýrazněna je tzv. oblast přitažlivosti (někdy též bazén přitažlivosti), podmnožina fázového prostoru, která obsahuje trajektorie se stejným limitním bodem. Různé oblasti přitažlivosti odděluje nadplocha (v tomto případě křivka v rovině), která tvoří separatrix. Všimněme si, že separatrix jsou jediné trajektorie, které nekončí v limitních bodech, ale v sedlových bodech fázového portrétu.

Systém, jehož energie klesá s rostoucím časem se nazývá disipativní. Z fázového portrétu je disipativnost zřejmá z klesajícího fázového objemu podél trajektorií. Fázovým objemem nazveme souvislou oblast fázového prostoru. Transformujeme-li všechny body x oblasti pomocí evolučního operátoru, dostaneme nový objem, tvořený body F_t-to(x). Pro konzervativní systémy se velikost fázového objemu zachovává, pro disipativní klesá (Liouvillův teorém).

Obr.8.5 Fázový portrét tlumeného rotátoru. Limitní body odpovídají stabilní klidové poloze, sedlové nestabilní poloze.

Rotátor

Následující applet umožňuje testování chování tlumeného rotátoru pro různé hodnoty tlumení a počáteční podmínky, které lze nastavit kliknutím myši do fázového portrétu. Pomocí kontrolního políčka si můžete zobrazit i animaci rotátoru. Celočíselná položka "Delay" mění rychlost simulace. Přednastavená hodnota 5 je rozumná pro animaci, při nižší hodnotě již animaci nelze sledovat, ale trajektorie se vytváří velmi rychle. Do položky "Tlumeni" lze zadávat reálná čísla. Číselné položky je třeba odeslat klávesou [Enter]. Nevhodný číselný formát je ignorován.