3     Lineární dynamické systémy - pokračování

vlastní prostor
diferencovatelné variety
racionální závislost
kvaziperiodické chování

3.5    Lineární systémy v prostoru
3.6    Hyperbolické body a vlastní prostory
3.7    Nehyperbolické pevné body
3.8    Nerovinný fázový prostor

3.5     Lineární systémy v prostoru

Lineární systémy se třemi proměnnými lze klasifikovat obdobně jako systémy v rovině. Dá se ukázat, že Jordanova kanonická forma matic koeficientů může nabývat tvar (všechny koeficienty uvedených matic jsou reálná čísla):

(3.31)

Vidíme, že kromě matice J₃ lze všechny ostatní Jordanovy matice rozložit na systém 2x2 a 1x1, tj. můžeme využít již získané znalosti k sestrojení fázového portrétu v prostoru.

Postup si ukážeme na matici typu J₄. Matici soustavy můžeme rozložit podle schematu:

(3.32)

neboli soustavu dynamického systému lze psát ve tvaru

(3.33)

Fázový portrét redukované soustavy tvoří soustava spirál (viz obr.3.5) a řešení poslední rovnice soustavy je exponenciální, tj. prostorový fázový portrét vypadá podle obr.3.10

Obr.3.10 Trajektorie prostorového systému s Jordanovou formou J₄, která prochází bodem (a,b,c) ve fázovém prostoru. Každá trajektorie leží na povrchu plochy:

Systém s maticí J3 lze řešit pomocí jiného typu rozkladu. Platí totiž

(3.34)

Uvědomíme-li si, že pro nediagonální matici C na pravé straně platí C³=0, dostaneme podle (3.18)

(3.35)

Z (3.17) a (3.35) pak pro operátor toku systému s výše uvedenou maticí dostaneme:

(3.36)

Fázový portrét systému je na obr.3.11. Výsledná trajektorie je tedy opět složena z již známého pohybu v rovině a přidána je parabolická prostorová složka.

Obr.3.11 Trajektorie prostorového systému s Jordanovou formou J ₃, která prochází bodem (0,b,c) ve fázovém prostoru. Každá trajektorie má v každé souřadnici extrém (body A,B,C) a její projekce do roviny x₁-x₂ odpovídá fázovému portrétu na obr.3.4.

Projekce fázových portrétů prostorových kanonických systémů do roviny je tedy totožná s fázovými portréty kanonických systémů v rovině.

Konstrukce fázových portrétů lineárních systémů vyšších dimenzí je obdobná. Nalezenou kanonickou formu lze rozložit na systémy nižších dimenzí. Vzhledem k tomu, že počet kanonických forem je v prostorech konečné dimenze rovněž konečný, je úplná analýza lineárního systému vždy možná.

3.6     Hyperbolické body a vlastní prostory

U systémů vyšší dimenze (n>2) lze definovat hyperbolické pevné body obdobně jako u rovinných systémů: hyperbolický bod je pevný bod systému s maticí, jejíž všechny vlastní hodnoty mají nenulovou reálnou složku. Lze ukázat, že fázový portrét takových systémů je vždy kvalitativně ekvivalentní se systémem definovaným jednoduchou soustavou vektorových diferenciálních rovnic:

(3.37)

kde n_u je počet vlastních hodnot s kladnou reálnou složkou a n_s je počet vlastních hodnot se zápornou reálnou složkou. Zřejmě je n_u + n_s = n, kde n je dimenze systému, neboť nulové reálné složky jsou u hyperbolických systémů vyloučeny. Systém (3.37) je tedy tvořen kompozicí dvou nezávislých systémů s odlišným typem chování. Fázový portrét prvního tvoří nestabilní “hvězdu” v prostoru , druhý je dán stabilní “hvězdou” v prostoru . Výsledný fázový portrét je zřejmě kartézským součinem dílčích portrétů. Pro n_u , n_s >0 pak dostáváme sedlové body s různým druhem stability. Např. pro n = 3, n_u = 1, n_s = 2 bude hyperbolický bod ležet v rovině, z níž budou trajektorie směřovat do pevného bodu, z pevného bodu bude pak vystupovat jediná nestabilní trajektorie, kolmá na stabilní rovinu. Uvedená rovina a kolmá přímka tvoří separatrix ve fázovém portrétu. Vidíme, že u systémů vyšší dimenze může tvořit separatrix obecně vícerozměrný podprostor E^u (nestabilní) nebo E^s (stabilní). Tyto prostory se nazývají vlastní prostory a jejich dimenze je zřejmě n_u , resp. n_s. Každým bodem stabilního vlastního prostoru prochází trajektorie končící v sedlovém bodě pro , naopak každým bodem nestabilního vlastního prostoru prochází trajektorie vycházející z pevného bodu pro .

3.7     Nehyperbolické pevné body

Jediným typem jednoduchého nehyperbolického pevného bodu rovinných lineárních systémů je středový bod. U systémů vyšších dimenzí však existuje více variant takových bodů stejně jako tomu bylo v případě sedlového pevného bodu. Uvažujme jednoduchý lineární prostorový systém s kanonickou maticí

(3.38)

Pevný bod systému je jednoduchý a nehyperbolický, neboť první dvě vlastní hodnoty matice jsou ryze imaginární. Pro řešení je opět vhodné provést transformaci z kartézského systému (x₁, x₂, x₃) do cylindrického (r,q,z). V cylindrických souřadnicích je zřejmě soustava odpovídajícího systému

(3.39)

s jednoduchým řešením

(3.40)

Obr.3.12 Fázový portrét nehyperbolického systému v prostoru s maticí (3.38). Trajektorie se blíží ke kružnici v rovině z=0, které má některé vlastnosti stabilního uzlu. Pro kladný koeficient l je tatáž kružnice zřejmě nestabilní. V prostorových nehyperbolických systémech tedy může být stabilní nebo nestabilní nejen pevný bod, ale i uzavřený orbit.

Vidíme, že trajektorie systému leží na válci s osou  z s poloměrem R, přičemž směřují po spirále ke kružnici z = 0, pokud je koeficient l záporný.

3.8     Nerovinný fázový prostor

Na obr.3.12 je fázový portrét prostorového systému, avšak jeho trajektorie jsou omezeny na určitou prostorovou plochu. Tento případ je velmi častý např. u systémů s nějakými vazebnými podmínkami (zde např. požadavkem konstantního poloměru). V roli omezení mohou být různé zákony zachování (např. zákon zachování energie konzevativních systémů), jak dále uvidíme. Z hlediska diferenciální geometrie tvoří taková plocha diferencovatelnou varietu s nižší dimenzí, než má původní fázový prostor. Důležitým příkladem je konzervativní systém se dvěma stupni volnosti, jehož stav lze popsat čtyřmi proměnnými: dvěma dvojicemi zobecněných souřadnic a hybností. Zákon zachování energie přitom omezí pohyb systému ze 4-rozměrného fázového prostoru na obecnou plochu nižší dimenze. Příklad takové plochy je uveden dále.

Uvažujme lineární dynamický systém v Euklidovském fázovém prostoru R₄, s maticí koeficientů

(3.41)

Odpovídající soustavu diferenciálních rovnic lze snadno řešit pomocí tranformace do polárních souřadnic zavedené v nezávislých rovinách x₁-x₂ a x₃-x₄: odpovídající soustava pro (r₁,q₁) a (r₂,q₂) je:

(3.42)

s řešením

(3.43)

Každá část rozloženého systému se tedy chová periodicky s periodou 2p/b₁, resp. 2p/b₂. Z toho ovšem nevyplývá, že dynamický systém se chová periodicky (tj. trajektorie tvoří uzavřené orbity). Abychom vyšetřili fázový portrét zavedeme následující definici:

Dvě nenulová čísla b₁, b₂ nazveme racionálně závislá,existují-li dvě celá čísla k₁ a k₂ taková, že platí:

(3.44)

Trajektorie uvedeného systému lze znázornit křivkami ležícími na povrchu toru (viz obr.3.13), který vznikne složením dvou nezávislých kruhových pohybů podle řešení (3.43). Pokud nejsou koeficienty b₁, b₂ racionálně závislé, trajektorie na povrchu toru nebude uzavřená, avšak bude procházet v libovolně blízkém okolí každého bodu (vyplní "hustě" celý torus). Takový vývoj systému se nazývá kvaziperiodický (stav systému se vrací do libovolné blízkosti každého bodu ve fázovém prostoru po dostatečně dlouhém časovém intervalu). Fázový portrét periodického a kvaziperiodického chování není zřejmě kvalitativně ekvivalentní, tj. dostáváme nový druh chování systému, který u rovinných dynamických systémů neexistuje. To je dáno tím, že trajektorie ve fázovém prostoru se nemohou protínat, avšak pokud leží trajektorie na varietě (byť dvojrozměrné) mohou se míjet po jiném povrchu variety. Při projekci se pak trajektorie zdánlivě protínají.

Obr.3.13 Příklad omezení trajektorie ve vícerozměrném fázovém prostoru na povrch diferenciální variety nižší dimenze.