3     Lineární dynamické systémy - pokračování

jednoduché systémy
hyperbolické pevné body
separatrix
kvalitativní (topologická) ekvivalence
afinní (nehomogenní) systém

3.2    Jednoduché a hyperbolické pevné body
3.3    Prostor parametrů a kvalitativní ekvivalence
3.4    Operátor toku lineárních dynamických systémů

3.2     Jednoduché a hyperbolické pevné body

Lineární systémy s regulární maticí koeficientů (též nesingulární), která má nenulové vlastní hodnoty a platí , se nazývají jednoduché. Systém, jehož fázový portrét je na obr.3.6, tedy jednoduchý není. Z hlediska obecného zkoumání dynamických systémů mají velký význam tzv. hyperbolické pevné body. Hyperbolický lineární dynamický systém lze definovat podmínkou, že všechny (obecně komplexní)vlastní hodnoty matice A dynamického systému mají nenulovou reálnou složku. Z hlediska uvedených kanonických tvarů je zřejmé, že nehyperbolický je systém popsaný maticí J₄, kde navíc platí, že a = 0. Dále patří do nehyperbolické třídy systémy s nejednoduchými pevnými body, neboť některé z vlastních hodnot jejich matic jsou nulové. Pevný bod hyperbolického lineárního systému se nazývá hyperbolický. Z uvedených jednoduchých pevných bodů je tedy nehyperbolický pouze bod typu střed. Jak dále uvidíme, nejčastějším reprezentantem hyperbolického pevného bodu je sedlový bod (obr.3.2), podle tvaru trajektorií v okolí sedlového bodu dostaly pevné body hyperbolického typu zřejmě také svůj název. Důležitou vlastností sedlového bodu jsou stabilní a nestabilní trajektorie směřující do (resp. ze) sedlového bodu ve směru vlastních vektorů matice systému. Tyto trajektorie končící resp. začínající v sedlovém bodě dělí fázový prostor do disjunktních oblastí a nazývají se separatrix. Jejich velký význam bude patrný zejména při vyšetřování nelineárních systémů.

Při studiu dynamických systémů je analyzováno chování systému nejen pro různé počáteční podmínky (fázový portrét), ale zejména pro různé hodnoty vnějších parametrů. V uvedeném případě lineárních systémů v rovině bylo ukázáno, že vhodnou transformací lze snížit původní počet parametrů ze čtyř koeficientů matice A na dva určující parametry: determinant a stopu matice. Úplná analýza pak spočívá v postižení všech kvalitativních aspektů chování systémů pro libovolné hodnoty parametrů. Výsledkem takové analýzy je obr. 3.7: prostor parametrů je rozdělen na disjunktní oblasti (odpovídající určitým třídám), v nichž se systémy chovají kvalitativně stejně. Z praktického hlediska má význam nejen chování v uvedených oblastech, ale i chování na jejich hranici. Může se sice zdát, že parametry s hraničními hodnotami jsou nepravděpodobné a při libovolně malých poruchách systém přejde do některé z definovaných oblastí, avšak hraniční chování systému je důležité při zkoumání přechodu systému z jednoho modelu chování na druhý při malé změně parametrů, jak dále uvidíme. Z obr.3.7 je ihned vidět, že oblast parametrů hyperbolických systémů tvoří souvislé části roviny, zatímco nehyperbolické systémy existují pouze pro hodnoty parametrů na souřadných osách (tr(A)=0: středový pevný bod; det(A)=0: nejednoduché pevné body). Oblast parametrů s nehyperbolickým chováním tedy tvoří množinu s nulovým objemem vzhledem k oblasti hyperbolických systémů.

Bohužel, v současné době neexistují nástroje, které by umožnily podobně komplexní analýzu nelineárních dynamických systémů. V dalších kapitolách jsou nastíněny některé z problémů, které vznikají při vyšetřování vícerozměrných nelineárních systémů. V omezené míře existují dnes prostředky pro vyšetření pouze jednoparametrických nelineárních systémů.

Viděli jsme, že dva lineární systémy z různých tříd mají podstatně odlišný fázový portrét. Lineární systémy z téže třídy se však chovají kvalitativně stejně, tj. tvar a směr jejich trajektorií ve fázovém portrétu je podobný (viz obr.3.8). Tuto podobnost lze vyjádřit exaktněji definicí:

Poznámka:
Všimněme si, že zobrazení nemusí být lineární, avšak musí být spojité a vzájemně jednoznačné (bijekce).

Obr.3.8 Vztah mezi fázovým portrétem kanonického systému a obecného systému souvisejícího s kanonickým tvarem transformací:
x₁ = y₁  a  x₂ = -y₁+ y₂

Definice ekvivalence je obecnější než dělení lineárních systémů podle jejich algebraických vlastností. Dá se ukázat, že klasifikace systémů podle uvedené definice zavádí obecně čtyři kvalitativní (někdy též topologické) typy chování lineárních systémů: stabilní, středové, sedlové a nestabilní (viz obr.3.9). Ostatní typy lze chápat jako speciální případ (subtyp) zmíněných čtyř základních typů chování. Středový (centrální) typ je charakteristický uzavřenými trajektoriemi (orbitami). Je zřejmé, že lineární systémy v rovině s regulární maticí mohou mít pouze jeden kritický bod. Kanonické systémy mají jednoduchý kritický bod vždy v počátku, což odpovídá triviálnímu řešení rovnice:

Obr.3.9 Základní čtyři typy kanonických lineárních systémů v rovině (topologická klasifikace)

Modifikovaný systém (3.1) se nazývá afinní, pokud platí

(3.14)

kde h je vektor ve fázovém prostoru. Obvykle se systémy popsané vztahem (3.14) nazývají nehomogenní. Nehomogenní systém lze převést na homogenní vhodnou transformací. Vyhovuje-li vektor z vztahu Az=h, lze systém (3.14) psát v homogenním tvaru kde y = x+z.

3.4     Operátor toku lineárních dynamických systémů

Explicitní tvar operátoru nalezneme snadno pomocí následujících úvah.

Zřejmě platí

(3.15)

Integrací tohoto vztahu v mezích od t₀ do t dostaneme s uvážením x(t₀)=x₀:

(3.16)

odkud

(3.17)

Exponenciální funkce maticového argumentu je přitom definována obvyklým způsbem pomocí řady

(3.18)

Explicitní vyjádření operátoru toku pro lineární dynamické systémy v rovině lze provést např. Sylvesterovou metodou:

Nechť má matice A dvě různé vlastní hodnoty l₁ a l₂. Definujme obecně komplexní matice Q₁ a Q₂ pomocí vztahů

(3.19)

Z toho

(3.20)

Dále platí

(3.21)

Obě pomocné matice mají tedy projekční vlastnost.

S přihlédnutím k (3.20) a (3.21) můžeme vyjádřit libovolnou přirozenou mocninu matice A takto:

(3.22)

Pro exponenciální funkci maticového argumentu tedy platí

(3.23)

Například v případě kanonické matice J₁ ze vztahů (3.19) a (3.23) dostaneme operátor toku ve tvaru:

(3.24)

což zřejmě odpovídá řešení podle (3.9).

Pro stejné vlastní hodnoty matice A (dvojnásobná vlastní hodnota l₀) definujme jedinou projekční matici , pro kterou zřejmě platí . Pro mocninu takové matice A tak máme

(3.25)

a konečně pro exponenciální funkci

(3.26)

Pro kanonickou nediagonální matici J₃ tak například dostaneme operátor toku ve tvaru

(3.27)

což opět odpovídá nalezenému řešení (3.10).

Pomocí stejné metody lze snadno vyjádřit také řešení afinního systému, kde je nehomogenní složka funkcí času:

Řešení lze psát ve tvaru

(3.28)

kde pro homogenní složku platí

(3.29)

a pro nehomogenní člen lze snadno ukázat, že

(3.30)