2    Základní pojmy

model dynamického systému
stavové proměnné
fázový prostor
Cauchyho systém
trajektorie systému
autonomní systémy
orbity
pevné body

2.1 Fázový portrét
2.2 Operátor toku

Za dynamický systém budeme považovat systém, jehož stav lze popsat konečnou množinou stavových proměnných, přičemž okamžitý stav systému plně určuje jeho vývoj (tj. určuje další hodnoty stavových proměnných v každém čase - přítomnosti i minulosti). V teoretické mechanice např. slouží jako stavové proměnné zobecněné souřadnice a hybnosti, v termodynamice tlak, teplota a objem, v uzavřené ekonomice produkce, spotřeba a investice, v elektrodynamice proud, napětí atd. Dynamické systémy se běžně vyskytují také v biologii, chemii, hydrodynamice, meteorologii a jejich zkoumání má tedy univerzální platnost.

Hodnoty všech stavových proměnných v daném čase popisují stav systému, který lze znázornit bodem v tzv.fázovém prostoru.

Je-li x vektor stavových proměnných ve fázovém prostoru , nazveme modelem dynamického systému soustavu diferenciálních rovnic

(2.1)

kde t je čas a F je vektorová funkce, tj. složky soustavy (2.1) jsou

(2.2)

Uvedená soustava se často nazývá Cauchyho systém a lze ji vytvořit i ze soustavy diferenciálních rovnic vyšších řádů jednoduchými substitucemi (viz příklad 2.1).

Řešením soustavy (2.2) je vektor funkcí

Vývoj systému lze pak znázornit parametrickou křivkou x(t) v n-rozměrném fázovém prostoru , kterou nazýváme trajektorií systému

Příklad 2.1

Systém (2.1), který popisuje pohyb matematického kyvadla v rovině, lze odvodit např. z momentové pohybové rovnice:

(2.3)

kde moment setrvačnosti , přičemž m je hmotnost a l délka závěsu, je úhlové zrychlení, f je úhel závěsu. Moment gravitační síly je dále

(2.4)

neboli

(2.5)

Stavovými proměnnými jsou v tomto případě úhel f a úhlová rychlost w. Tvar (2.2), který jednoduše vyplývá z pohybové rovnice (2.5) je

(2.6)

Trajektorie tohoto systému je závislá na počátečních podmínkách (viz obr.2.1)

Obr.2.1 Soustava trajektorií ve fázovém prostoru pro různé počáteční podmínky.

2.1 Fázový portrét

Soustava parametrických křivek (trajektorií) pro množinu počátečních podmínek na obr.2.1 tvoří tzv. fázový portrét systému. Každý bod ve fázovém prostoru náleží právě jedné trajektorii systému. Z toho ihned vyplývá, že trajektorie se nemohou nikde protínat, neboť v průsečíku by nebylo možné určit jednoznačně další vývoj systému a systém by již nebyl deterministický. Na obr.2.2 je několik příkladů fázových portrétů různých systémů se dvěma stavovými proměnnými (fázovým prostorem je tedy rovina). Všechny příklady mají jednu společnou vlastnost: vektorová funkce F ze vztahu (2.1) neobsahuje explicitně čas. Takové systémy se nazývají autonomní.

Poznámka:
Neautonomní systémy lze jednoduše převést na autonomní přidáním další stavové proměnné tak, že k soustavě přidáme rovnici a explicitně vyjádřený čas ve vektorové funkci F nahradíme novou proměnnou x_n+1.

Obr.2.2 Příklady fázových portrétů systémů se dvěma stavovými proměnnými

Některé trajektorie ve fázovém prostoru (viz obr.2.2) mohou být uzavřené, pak se také nazývají orbity. Šipky u trajektorií ve fázovém portrétu naznačují, kterým směrem se systém vyvíjí s rostoucím časem.

Některé stavy systému mohou být konstantní, tj. existuje řešení x(t) takové, že x(t) = x₀ pro každé t. Odpovídající body fázového prostoru se pak nazývají pevnými (také kritickými) body a hrají při vyšetřování dynamických systémů důležitou roli, jak dále uvidíme.

2.2 Operátor toku

Levou stranu soustavy (2.1) lze interpretovat také jako vektor rychlosti změny stavu systému, který zároveň udává rychlost toku bodů ve fázovém prostoru podél trajektorie systému. Jinými slovy, funkce F definuje rychlost toku pro každou hodnotu stavu x. Byl-li systém v čase t=t₀ ve stavu x₀, můžeme definovat zobrazení F_t fázového prostoru na sebe takové, že ke každému stavu x(0) a času t přiřadí stav x(t). Toto zobrazení se nazývá operátor toku nebo také evoluční operátor. Evoluční operátor v sobě zahrnuje všechna řešení soustavy (2.1), neboť umožňuje ke každému stavu stanovit jeho budoucnost i minulost. Řešení soustavy vyhovující počáteční podmínce x(t₀) = x₀ lze tedy vyjádřit pomocí evolučního operátoru takto:

(2.7)

Z definice evolučního operátoru vyplývají následující vztahy:

(2.8)

speciálně

(2.9)

a z toho

(2.10)

Inverzní operátor evoluce k operátoru definujícímu stav v budoucnosti je tedy operátor definující stav v minulosti.

Příklad 2.2

Pro nejjednodušší lineární soustavu

kde , která má řešení

je evoluční operátor dán pouhým násobením faktorem .