1     Úvod

 

obsah

konec

další

Za jednu z pověr přírodních věd lze označit představu, že zdařilý matematický model, který věrně popisuje vybrané aspekty reálného systému, postačuje k poznání tohoto systému ve smyslu předpovědi jeho dalšího vývoje. Patrně nejnázornějším příkladem takového pojetí jsou základní kurzy klasické dynamiky, kde se implicitně předpokládá, že matematický popis pohybu ideálních fyzikálních objektů (hmotný bod, resp. tuhé těleso) v Euklidovském prostoru spolu s popisem jejich vzájemného působení (Newtonovy zákony) je z hlediska jejich poznání vyčerpávající. Modely chování systémů složených z takových objektů lze obvykle snadno vytvořit a na základě počátečních podmínek předpovědět jejich další vývoj např. pomocí nástrojů teoretické mechaniky (Lagrangeovy nebo Hamiltonovy kanonické rovnice apod.). Ještě dnes se lze často setkat s tvrzením, že na uvedených principech lze postavit deterministický model světa, který je na základě úplné znalosti počátečních podmínek plně predikovatelný, a který definitivně pohřbila až kvantová mechanika principem neurčitosti.


V současnosti je však zřejmé, že deterministický svět neodpovídal ani jednoduchým zákonům klasické dynamiky. Modelování složitějších systémů od počátku naráželo na nesrovnalosti mezi predikovaným a skutečným vývojem, které se přičítaly nedokonalému použitému matematickému modelu nebo nepřesným numerickým metodám. Když však Henri Poincaré na začátku 20. století století analyzoval chování jednoduchého systému tří ideálních těles, která na sebe působí pouze gravitační silou, zjistil, že ani v případě zjednodušení nelze rozumně matematicky popsat alespoň části jejich trajektorií a o předpovědi, byť hrubé, nemůže být ani řeči. Uvedené chování úzce souvisí mj. s teorií stability, jejíž základní kameny položil ruský matematik Ljapunov rovněž na počátku 20. století a stal se tak spolu s Poincarém jedním ze zakladatelů teorie dynamických systémů (kap.2). Její rozvoj se poměrně brzy ukázal být velmi náročný a lze říci, že po téměř století výzkumů na tomto poli se vyjasnily především matematické potíže, avšak obecný aparát, který by je vyřešil, je v nedohlednu.


S rozvojem a všeobecnou dostupností výpočetní techniky se původně čistě teoretické konstrukce dynamických systémů dostaly do světa numerického modelování. Zvláštní chování dynamických systémů simulované na počítači brzy upoutalo pozornost mnoha vědců a inženýrů (nejenom z oblasti přírodních věd), kteří si nyní mohli snadno a názorně ověřit, že sebevýkonnější počítač nedokáže s dostatečnou přesností simulovat děje, které probíhají v některých (i velmi jednoduchých) soustavách. Paradoxně tak právě počítače dokázaly hranice své použitelnosti. Na základě teorie dynamických systémů pak vznikla teorie chaosu, která se zabývá zejména takovými systémy, jejichž chování je za určitých podmínek nepredikovatelné. Přesto, že je to teorie poměrně nová, její východiska tvoří již zmíněná teorie dynamických systémů doplněná o některé novější poznatky (např. Whitneyova teorie singularit nebo Andronovova teorie bifurkací), přičemž jejím hlavním přínosem je patrně jasná identifikace stavů, v nichž se systém chová nepředvídatelně (chaoticky).


Z určitého hlediska teorie chaosu může ovlivnit i filozofický pohled na svět, neboť ukázala, že i velmi jednoduché systémy mohou vykazovat z hlediska poznání prakticky nekonečně složité chování, jinými slovy, že nejenom realita, ale i její zjednodušený model může být na plné pochopení příliš komplikovaný.


1.1    Stručná historie zkoumání chaosu

Seriózní zkoumání stability dynamických systémů prováděli největší matematikové 18. a 19. století zejména v souvislosti s problémem více těles se vzájemným gravitačním působením. Palčivou otázkou byla stabilita sluneční soustavy, kterou se zabýval např. Langrange, Laplace a Dirichlet. V této souvislosti např. Laplace postuloval deterministický model světa, který umožňuje na základě počátečních podmínek a obecných přírodních zákonů stanovit všechny podstatné jevy budoucnosti i minulosti. Toto tvrzení vážně zpochybnil zejména Henri Poincaré, jenž na přelomu 19.a 20.století prokázal v přírodních zákonech možnost nestability, kdy libovolně malé poruchy mohou vést k nepředvídatelným důsledkům. Poincaré také formuloval kritéria pro kvalitativní změnu chování a vznik více limitních řešení při změně parametrů systému a položil tak základy teorie bifurkací. Nicměné první kroky na tomto poli vykonal již v roce 1774 Euler při zkoumání zatížené vzpěry. Publikoval zprávu o ztrátě stability řešení při kritickém zatížení a ilustroval tak příklad bifurkace při ztrátě symetrie. Poincaré v roce 1899 použil kvalitativní pohled na dynamické systémy poté, když jeho kvantitativní výzkum problému stability sluneční soustavy i za zjednodušených podmínek vedl k nestabilnímu řešení. Lze říci, že položil základy dnešní podoby diferenciální geometrie. V duchu Poincarého pokračoval ruský matematik Ljapunov, jehož definice a kritéria stability se používají i dnes. Ve 20. století probíhá intenzívní výzkum difeomorfismů: v roce 1920 zkoumá zobrazení kruhu na sebe Birkhoff, v roce 1917 publikuje Julia závěry o analytických komplexních mapách, tento výzkum završují v součnasnosti také známé práce Mandelbrota.


Ve 40. letech proslula silná sovětská škola vedená Lifšicem, z níž zejména Kolmogorov a Arnold otevřeli současnou kapitolu výzkumu chaosu (jejich tzv. KAM teorie zabývající se eliptickými pevnými body je jednou ze stěžejních teorií, které postihují některé mechanizmy vzniku chaotického chování). Matematická veřejnost však situuje počátek “vědy o chaosu” až do roku 1963, kdy byla publikována známá práce Lorenzova, který při modelování deterministického neperiodického proudění objevil chaotické chování svého jednoduchého modelu a přisoudil mu odpovědnost za vznik turbulence (v dnešní době je známo, že Lorenzův model vycházející z Navier-Stokesových rovnic je nerealistický, přesto vede ke vzniku chaotického atraktoru). Zkoumání jednoduchého trojrozměrného Lorenzova systému pronikavě změnilo tvář teorie dynamických systémů a upozornilo na celou škálu nejenom přírodních jevů, které se nyní jeví ve zcela odlišném světle.


V USA je moderní teorie dynamických systémů spojena zejména se jménem Smalea, který mj. zkoumal vrstevnatou strukturu stabilních a nestabilních variet a objevil zvláštní matematickou entitu dnes známou jako Smaleova podkova (“nekonečně překládanou plochu”). V Evropě Ruelle a Takens vytvořili novou teorii turbulence, jako projevu nelinearit v systému konečné dimenze (jako protiklad Landauovy teorie, která turbulenci považovala za projev nekonečné dimenze invariantního toru). Počátkem 70. let pracovali na různých modelech dynamických systémů např. Yorke, May, Oster aj., kdy se znovu potvrzovalo, že systémy mohou vykazovat prakticky náhodné chování i v případě, že podléhají pouze jednoduchým deterministickým pravidlům.


obsah

konec

další